Estas relaciones son fundamentales pues permiten determinar las cuatro cantidades fundamentales L, W, Lq, Wq, en cuanto se encuentra analíticamente el valor de una de ellas.
Características claves.
Existen dos clases básicas de tiempo entre llegadas:
Determinístico, en el cual clientes sucesivos llegan en un mismo intervalo de tiempo, fijo y conocido. Un ejemplo clásico es el de una línea de ensamble, en donde los artículos llegan a una estación en intervalos invariables de tiempo (conocido como ciclos de tiempo)
Probabilístico, en el cual el tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos entre llegadas probabilísticos se describen mediante una distribución de probabilidad.
En el caso probabilístico, la determinación de la distribución real, a menudo, resulta difícil. Sin embargo, una distribución , la distribución exponencial, ha probado ser confiable en muchos de los problemas prácticos. La función de densidad, para una distribución exponencial depende de un parámetro, digamos l (letra griega lambda), y está dada por:
f(t)=(1/ l )e- l t
en donde l (lambda) es el número promedio de llegadas en una unidad de tiempo.
Con una cantidad, T, de tiempo se puede hacer uso de la función de densidad para calcular la probabilidad de que el siguiente cliente llegue dentro de las siguientes T unidades a partir de la llegada anterior, de la manera siguiente:
P(tiempo entre llegadas <=T)=1-e- l t
El proceso de servicio.
El proceso de servicio define cómo son atendidos los clientes. En algunos casos, puede existir más de una estación en el sistema en el cual se proporcione el servicio requerido. Los bancos y los supermercados, de nuevo, son buenos ejemplos de lo anterior. Cada ventanilla y cada registradora son estaciones que proporcionan el mismo servicio. A tales estructuras se les conoce como sistemas de colas de canal múltiple. En dichos sistemas, los servidores pueden ser idénticos, en el sentido en que proporcionan la misma clase de servicio con igual rapidez, o pueden no ser idénticos. Por ejemplo, si todos los cajeros de un banco tienen la misma experiencia, pueden considerarse como idénticos.
Al contrario de un sistema de canal múltiple, considere un proceso de producción con una estación de trabajo que proporciona el servicio requerido. Todos los productos deben pasar por esa estación de trabajo; en este caso se trata de un sistema de colas de canal sencillo. Es importante hacer notar que incluso en un sistema de canal sencillo pueden existir muchos servidores que, juntos, llevan a cabo la tarea necesaria. Por ejemplo, un negocio de lavado a mano de automóviles, que es una sola estación, puede tener dos empleados que trabajan en un auto de manera simultánea
Otra característica del proceso de servicio es el número de clientes atendidos al mismo tiempo en una estación. En los bancos y en los supermercados (sistema de canal sencillo), solamente un cliente es atendido a la vez. Por el contrario, los pasajeros que esperan en una parada de autobús son atendidos en grupo, según la capacidad del autobús que llegue.
Otra característica más de un proceso de servicio es si se permite o no la prioridad, esto es ¿puede un servidor detener el proceso con el cliente que está atendiendo para dar lugar a un cliente que acaba de llegar?. Por ejemplo, en una sala de urgencia, la prioridad se presenta cuando un médico, que está atendiendo un caso que no es crítico es llamado a atender un caso más crítico. Cualquiera que sea el proceso de servicio, es necesario tener una idea de cuánto tiempo se requiere para llevar a cabo el servicio. Esta cantidad es importante debido a que cuanto más dure el servicio, más tendrán que esperar los clientes que llegan. Como en el caso del proceso de llegada, este tiempo pude ser determinístico o probabilístico . Con un tiempo de servicio determinístico, cada cliente requiere precisamente de la misma cantidad conocida de tiempo para ser atendido. Con un tiempo de servicio probabilístico, cada cliente requiere una cantidad distinta e incierta de tiempo de servicio. Los tiempos de servicio probabilísticos se describen matemáticamente mediante una distribución de probabilidad. En la práctica resulta difícil determinar cuál es la distribución real, sin embargo, una distribución que ha resultado confiable en muchas aplicaciones , es la distribución exponencial .En este caso, su función de densidad depende de un parámetro, digamos (la letra griega my) y esta dada por
s(t)=(1/ m )e-m t
en la que:
m = número promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo,
de modo que:
1/ m = tiempo promedio invertido en atender a un cliente
En general, el tiempo de servicio puede seguir cualquier distribución, pero, antes de que pueda analizar el sistema, se necesita identificar dicha distribución.
Medidas de rendimiento para evaluar un sistema de colas
El objetivo último de la teoría de colas consiste en responder cuestiones administrativas pertenecientes al diseño y a la operación de un sistema de colas. El gerente de un banco puede querer decidir si programa tres o cuatro cajeros durante la hora de almuerzo. En una estructura de producción, el administrador puede desear evaluar el impacto de la compra de una nueva máquina que pueda procesar los productos con más rapidez.
Cualquier sistema de colas pasa por dos fases básicas. Por ejemplo, cuando el banco abre en la mañana, no hay nadie en el sistema, de modo que el primer cliente es atendido de forma inmediata. Conforme van llegando más clientes, lentamente se va formando la cola y la cantidad de tiempo que tienen que esperar se empieza a aumentar. A medida que avanza el día, el sistema llega a una condición en la que el efecto de la falta inicial de clientes ha sido eliminado y el tiempo de espera de cada cliente ha alcanzado niveles bastante estables.
Medidas de rendimiento para evaluar un sistema de colas
El objetivo último de la teoría de colas consiste en responder cuestiones administrativas pertenecientes al diseño y a la operación de un sistema de colas. El gerente de un banco puede querer decidir si programa tres o cuatro cajeros durante la hora de almuerzo. En una estructura de producción, el administrador puede desear evaluar el impacto de la compra de una nueva máquina que pueda procesar los productos con más rapidez.
Cualquier sistema de colas pasa por dos fases básicas. Por ejemplo, cuando el banco abre en la mañana, no hay nadie en el sistema, de modo que el primer cliente es atendido de forma inmediata. Conforme van llegando más clientes, lentamente se va formando la cola y la cantidad de tiempo que tienen que esperar se empieza a aumentar. A medida que avanza el día, el sistema llega a una condición en la que el efecto de la falta inicial de clientes ha sido eliminado y el tiempo de espera de cada cliente ha alcanzado niveles bastante estables.
- ?n = Tasa media de llegadas de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema (número promedio de llegadas por unidad de tiempo).
- 1/? = Tiempo promedio entre llegadas.
- µn = Tasa media de servicio de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema (número promedio de clientes al cual puede dar servicio la instalación en una unidad de tiempo, suponiendo que no hay escasez de clientes).
- 1/µ = Tiempo promedio servicio.
- Lq = Número esperado de clientes en la cola (excluye los clientes que están en servicio).
- L = Número esperado de clientes que se atienden y/o esperan en el sistema.
- Wq = Tiempo estimado que emplea un cliente esperando en la cola.
- W = Tiempo estimado que emplea un cliente esperando más el que emplea siendo atendido (tiempo esperado en el sistema).
- Po = Probabilidad de encontrar el sistema vacío u ocioso.
- Pn = Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema.
- ? = Fracción esperada de tiempo que los servidores individuales están ocupados.
Modelo de la Cola Infinita, Fuente Infinita y una Unidad de Servicio Múltiple.
Para este modelo de considera lo siguiente:
1.- Las llegadas son aleatorias y provienen de una distribución de probabilidad de Poisson o de Markov.
2.- Se supone que el tiempo de servicio es también una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial o de Markov. Se supone además que los tiempos de servicios son independientes entre sí e independiente del proceso de llegada.
3.- Hay varias unidades de servicio.
4.- La disciplina de cola se basa en el principio FIFO (primero en llegar primero en salir) y no hay un límite para el tamaño de la cola.
5.- Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con el tiempo. El proceso ha estado en operación el tiempo suficiente para eliminar los efectos de las condiciones iniciales.
La siguiente notación supone la condición de estado estable:
• Pn : Probabilidad de que haya exactamente n clientes en el sistema
• L: Número esperado de clientes en el sistema.
• Lq : Longitud esperada de la cola (excluye los clientes que están en servicio).
• W : Tiempo de espera en el sistema para cada cliente
• W : E(W )
• W q: Tiempo de espera en la cola para cada cliente.
• Wq: E (Wq )
Relaciones entre L , W , Lq y Wq
Supongamos que ln es una constante l para toda n:
L = l W Lq = l Wq
Supongamos que el tiempo medio de servicio es una constante 1/m para toda n ³ 1
W = Wq + 1/m L = Lq+r
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